Ο Έλληνας μαθηματικός Ερατοσθένης υπολόγισε την περίμετρο της Γης χρησιμοποιώντας μόνο δύο ράβδους, δύο πόλεις στην Αίγυπτο και τη γωνία των σκιών τους το μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου (Science Daily)
Ο Ερατοσθένης από την Κυρήνη, γεννημένος γύρω στο 276 π.Χ. σε αυτό που σήμερα είναι η Λιβύη και υπηρετώντας από τα μέσα της τρίτης δεκαετίας της ζωής του ως ο τρίτος επικεφαλής βιβλιοθηκάριος της μεγάλης Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, πραγματοποίησε έναν από τους πιο καθοριστικούς υπολογισμούς στην ιστορία της επιστήμης με ένα μολύβι, ένα ραβδί και μια ιδέα.
Η ιδέα ήταν ότι η Γη είναι σφαιρική, ότι ο Ήλιος είναι τόσο μακρινός από τη Γη ώστε οι ακτίνες του φτάνουν ουσιαστικά σε παράλληλες κατευθύνσεις, και ότι η διαφορά στο μήκος των σκιών σε δύο διαφορετικά γεωγραφικά πλάτη την ίδια στιγμή στο θερινό ηλιοστάσιο θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, με απλή γεωμετρία, για να συναχθεί το μέγεθος της ίδιας της Γης.
Η σωζόμενη αρχαία πηγή του Κλεομήδη στο έργο του «Περί της κυκλικής κινήσεως των ουρανίων σωμάτων», μας ενημερώνει ότι ο Ερατοσθένης πραγματοποίησε τον υπολογισμό περίπου το 240 π.Χ., και κατέληξε σε μια τιμή περίπου 250.000 σταδίων για την πλήρη περίμετρο της Γης.
Το στάδιο ήταν μονάδα μήκους που χρησιμοποιούνταν στον αρχαίο ελληνικό κόσμο, αλλά δεν ήταν μία ενιαία μονάδα. Διαφορετικά στάδια χρησιμοποιούνταν σε διαφορετικές περιοχές.
Το αιγυπτιακό στάδιο ήταν περίπου 157,5 μέτρα, το αττικό ήταν περίπου 185 μέτρα, το ρωμαϊκό ήταν περίπου 184,8 μέτρα.
Ανάλογα με το ποιο στάδιο χρησιμοποιούσε ο Ερατοσθένης, η τιμή των 250.000 σταδίων μεταφράζεται σε κάτι μεταξύ 39.375 - 46.620 χιλιομέτρων.
Η σύγχρονη μετρούμενη τιμή της περιμέτρου της Γης είναι περίπου 40.008 χιλιόμετρα στους πόλους και 40.075 χιλιόμετρα στον ισημερινό. Το αποτέλεσμα του Ερατοσθένη είχε επομένως 1 – 16% απόκλιση από τη σύγχρονη τιμή.
Το χαμηλότερο άκρο αυτής της κλίμακας είναι από τις πιο ακριβείς προσεγγίσεις ενός θεμελιώδους γεωφυσικού μεγέθους που έχουν προκύψει ποτέ από καθαρά θεωρητικά μέσα με βάση ένα μόνο σύνολο εμπειρικών παρατηρήσεων.
Πώς λειτούργησε ο υπολογισμός
Σύμφωνα με την ανασκόπηση του IFL Science για τον υπολογισμό, η οποία βασίζεται και στη δική της περιγραφή της NASA για την ιστορία, ο Ερατοσθένης γνώριζε την ύπαρξη ενός βαθιού πηγαδιού στη Συήνη, μια πόλη στη νότια Αίγυπτο γνωστή σήμερα ως Ασουάν, όπου το φως του ήλιου το μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου αναφερόταν ότι έφτανε μέχρι τον πάτο του πηγαδιού - πράγμα που σήμαινε ότι ο Ήλιος ήταν ακριβώς από πάνω εκείνη τη στιγμή.
Το φαινόμενο ήταν μια γνωστή τοπική ιδιορρυθμία, καταγεγραμμένη σε παπύρους που φυλάσσονταν στη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας. Από αυτό, ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι η Συήνη βρισκόταν πάνω ή πολύ κοντά σε αυτό που σήμερα ονομάζουμε Τροπικό του Καρκίνου, το γεωγραφικό πλάτος στο οποίο ο Ήλιος βρίσκεται ακριβώς από πάνω στο θερινό ηλιοστάσιο.
Ακριβώς την ίδια στιγμή την ίδια ημέρα - μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου - ο Ερατοσθένης μέτρησε τη σκιά που έριχνε μια κατακόρυφη ράβδος στην Αλεξάνδρεια, περίπου 800 χιλιόμετρα βόρεια της Συήνης. Η σκιά δεν ήταν μηδενική.
Η ράβδος έριχνε σκιά που αντιστοιχούσε σε γωνία του ήλιου περίπου 7,2 μοιρών από την κατακόρυφο.
Ο συλλογισμός που ακολούθησε ήταν το μέρος για το οποίο θυμόμαστε τον Ερατοσθένη: Αν ο Ήλιος ήταν ακριβώς από πάνω στη Συήνη την ίδια στιγμή που στην Αλεξάνδρεια ήταν 7,2 μοίρες εκτός κατακορύφου, και αν η Γη ήταν σφαιρική με τον Ήλιο αρκετά μακριά ώστε να παράγει παράλληλες ακτίνες, τότε η γωνιακή απόσταση από τη Συήνη στην Αλεξάνδρεια κατά μήκος της επιφάνειας της Γης έπρεπε επίσης να είναι 7,2 μοίρες.
Εφόσον οι 7,2 μοίρες είναι το 1/50 των 360 μοιρών ενός πλήρους κύκλου, η απόσταση από τη Συήνη έως την Αλεξάνδρεια πρέπει να είναι το 1/50 της πλήρους περιμέτρου της Γης. Πολλαπλασιάζοντας την απόσταση Συήνης–Αλεξάνδρειας επί 50, έχεις την περίμετρο της Γης.
Πώς μέτρησε την απόσταση
Ο Ερατοσθένης χρειαζόταν μόνο ένα ακόμη στοιχείο για να ολοκληρώσει τον υπολογισμό: τη γραμμική απόσταση από την Αλεξάνδρεια έως τη Συήνη.
Την άντλησε από δύο πηγές. Σύμφωνα με την αναφορά της Encyclopedia.com για τον υπολογισμό, μια αρχαία παράδοση θέλει τον Ερατοσθένη να προσλαμβάνει επαγγελματίες βαδιστές (τους λεγόμενους βηματιστές, από τη λέξη «βήμα») που διέσχιζαν τη διαδρομή μεταξύ των δύο πόλεων μετρώντας τα βήματά τους.
Μια άλλη παράδοση τον θέλει να εκτιμά την απόσταση από τον τυπικό χρόνο ταξιδιού καραβανιών με καμήλες στη διαδρομή, πολλαπλασιασμένο με τον μέσο ημερήσιο ρυθμό πορείας μιας καμήλας. Οι δύο μέθοδοι έδωσαν συγκλίνουσες εκτιμήσεις στο εύρος των 5.000 ελληνικών σταδίων.
Πολλαπλασιάζοντας 5.000 στάδια επί 50, ο Ερατοσθένης έλαβε περίμετρο 250.000 σταδίων, την οποία αργότερα βελτίωσε σε 252.000 στάδια, πιθανώς για να γίνει ο αριθμός πιο εύκολα διαιρετός με το 60 (ένας αριθμός που χρησιμοποιούνταν ευρέως στους αρχαίους υπολογισμούς επειδή έχει πολλούς διαιρέτες).
Ανεξάρτητα από το ποια τελική τιμή χρησιμοποίησε, το αποτέλεσμα ήταν η πρώτη ποσοτική εκτίμηση του μεγέθους της Γης στην ανθρώπινη ιστορία που βρισκόταν εντός τάξης μεγέθους της σωστής απάντησης.
Προηγούμενες εκτιμήσεις, όπου υπήρχαν, ήταν εικασίες ή αόριστες φιλοσοφικές διατυπώσεις· η τιμή του Ερατοσθένη ήταν υπολογισμός με ρητές παραδοχές και ρητά εμπειρικά δεδομένα, και μπορούσε να ελεγχθεί από μεταγενέστερες παρατηρήσεις άλλων αστρονόμων.
Οι πηγές σφάλματος
Η τιμή του Ερατοσθένη δεν ήταν απολύτως σωστή, και οι πηγές σφάλματος στον υπολογισμό του έχουν αναλυθεί προσεκτικά από μεταγενέστερες γενιές.
Σύμφωνα με την ανάλυση του ScienceABC για τον υπολογισμό, η πιο καθοριστική πηγή σφάλματος ήταν απλώς η γραμμική απόσταση από την Αλεξάνδρεια έως τη Συήνη, την οποία οι βηματιστές του Ερατοσθένη είχαν εκτιμήσει αντί να μετρήσουν με ακρίβεια.
Μια δεύτερη πηγή σφάλματος ήταν ότι η Αλεξάνδρεια και η Συήνη δεν βρίσκονται ακριβώς πάνω στον ίδιο μεσημβρινό - διαφέρουν κατά περίπου 3 μοίρες γεωγραφικού μήκους - αν και αυτό εισάγει μικρότερο σφάλμα από όσο θα περίμενε κανείς, επειδή η σχετική γεωμετρία εξαρτάται από τη διαφορά γεωγραφικού πλάτους και όχι μήκους.
Μια τρίτη πηγή σφάλματος ήταν ότι η Συήνη δεν βρίσκεται ακριβώς πάνω στον Τροπικό του Καρκίνου. Το 240 π.Χ., ο Τροπικός βρισκόταν περίπου 22 λεπτά τόξου νότια της Συήνης, πράγμα που σημαίνει ότι ο Ήλιος δεν ήταν απολύτως κατακόρυφος στη Συήνη στο ηλιοστάσιο - ένα γνώμονας εκεί θα έριχνε μια πολύ μικρή σκιά την οποία ο Ερατοσθένης είτε δεν παρατήρησε είτε θεώρησε αμελητέα.
Παρά αυτά τα συσσωρευμένα μικρά σφάλματα, το αποτέλεσμα ήταν εξαιρετικό. Ο Ερατοσθένης είχε συναγάγει το μέγεθος της Γης χρησιμοποιώντας μόνο επίπεδη γεωμετρία, παρατήρηση του ηλιακού φωτός σε δύο πόλεις και εκτίμηση απόστασης με βάση τον χρόνο ταξιδιού.
Είχε υποθέσει τη σφαιρική μορφή της Γης - μια υπόθεση που ήταν ήδη κοινή στους μορφωμένους ελληνικούς κύκλους της εποχής του αλλά όχι καθολικά αποδεκτή - και είχε χρησιμοποιήσει τον υπολογισμό ως επιβεβαιωτικό στοιχείο για αυτή την υπόθεση.
Είχε χρησιμοποιήσει την παραδοχή ότι οι ακτίνες του Ήλιου είναι παράλληλες, κάτι που είναι κατά προσέγγιση αληθές λόγω της πραγματικής απόστασης Ήλιου–Γης, και η παραδοχή παρήγαγε συνεπή αποτελέσματα όταν εφαρμόστηκε στη γεωμετρία.
Η εσωτερική συνοχή του υπολογισμού ήταν, στην εποχή του, ισχυρό επιχείρημα για την ορθότητα του υποκείμενου μοντέλου.
Τι επέτρεψε αυτό το τόσο ακριβές αποτέλεσμα
Ο υπολογισμός του Ερατοσθένη έγινε μία από τις θεμελιώδεις μετρήσεις της αρχαίας αστρονομίας.
Το μέγεθος της Γης, όταν έγινε γνωστό, επέτρεψε εκτιμήσεις του μεγέθους της Σελήνης (μέσω ανάλυσης των σκιών των σεληνιακών εκλείψεων), της απόστασης μέχρι τη Σελήνη (μέσω μετρήσεων παράλλαξης), της απόστασης μέχρι τον Ήλιο (μέσω πιο σύνθετων μεθόδων που αποδείχθηκαν λιγότερο αξιόπιστες στην αρχαιότητα), και της συνολικής κλίμακας του ορατού σύμπαντος.
Μεταγενέστεροι αρχαίοι αστρονόμοι, συμπεριλαμβανομένων του Ιππάρχου, του Πτολεμαίου και του μεσαιωνικού ισλαμικού λόγιου Αλ-Μπιρούνι, βελτίωσαν τον υπολογισμό του Ερατοσθένη με καλύτερες μετρήσεις, με τον Αλ-Μπιρούνι περίπου το 1000 μ.Χ. να παράγει μια τιμή μέσα σε περίπου 200 χιλιόμετρα από τη σύγχρονη τιμή χρησιμοποιώντας μία μόνο παρατήρηση ύψους βουνού σε αυτό που σήμερα είναι το Πακιστάν.
Ο υπολογισμός έγινε επίσης, στους αιώνες που ακολούθησαν, σύμβολο του τι μπορούσε να επιτευχθεί μέσω παρατήρησης, γεωμετρίας και καθαρής λογικής, χωρίς κανένα όργανο που να μην θα ήταν διαθέσιμο σε έναν εγγράμματο λόγιο το 240 π.Χ.
Ο Ερατοσθένης δεν είχε τηλεσκόπιο (το πρώτο κατασκευάστηκε γύρω στο 1608), ούτε θαλάσσιο χρονόμετρο (το πρώτο αξιόπιστο του Χάρισον ολοκληρώθηκε το 1759), ούτε ακριβή μηχανικά ρολόγια οποιουδήποτε είδους.
Είχε ένα ραβδί, τη γεωμετρία που είχε μάθει στην Αθήνα, τους πόρους της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και την προθυμία να συνδυάσει μια παρατήρηση που έγινε σε μία πόλη με μια παρατήρηση που έγινε σε μια άλλη πόλη 800 χιλιόμετρα νότια.
Ο αστρονόμος Carl Sagan, στο εναρκτήριο τμήμα της τηλεοπτικής του σειράς του 1980 Cosmos, παρουσίασε τον υπολογισμό του Ερατοσθένη ως το αρχικό παράδειγμα του τι μπορεί να κάνει η επιστήμη: να παράγει αξιόπιστη γνώση του κόσμου συνδυάζοντας προσεκτική παρατήρηση με καθαρή λογική, με αποτελέσματα που μπορούν να ελεγχθούν, να βελτιωθούν και να επεκταθούν από μεταγενέστερες γενιές.
Ο συλλογισμός που χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης παραμένει, περισσότερα από 2.200 χρόνια αργότερα, το τυπικό εισαγωγικό παράδειγμα γεωμετρικής αστρονομίας σε μαθήματα φυσικής σε όλο τον κόσμο.
Το βίντεο από την εκπομπή Cosmos, του Carl Sagan, όπου και παρουσιάζει τον τρόπο υπολογισμού της περιμέτρου της Γης του Ερατοσθένη:
www.worldenergynews.gr
